Abstract (Objective) This paper discusses the design, implementation, and analysis of an educational experience focused on linear variation, aimed at prospective secondary school mathematics teachers. The objective of this experience is to improve the prospective teachers' didactic-mathematical knowledge and to contribute to the development of their onto-semiotic analytical skills. Linear variation is an important topic because it is present in different educational moments through multiple approaches and meanings - arithmetic, algebraic, and functional. As a complex mathematical object, it can generate teaching and learning conflicts, which can be studied to provide useful information about improvement of educational activities. (Methodology) This is a qualitative investigation, based on the preliminary study, design, implementation, and analysis of 5 didactic activities according to the theoretical principles of the Onto-semiotic Approach. The data gathered for the investigation included video recordings of classes, field notes and written answers provided by nine prospective teachers in the eighth semester of a Licentiate's Degree in Secondary Education program, specializing in Mathematics. (Results) The results indicate that linear variation is indeed a complex issue, and deficiencies were found in the didactic-mathematical knowledge of prospective teachers. Likewise, difficulties in terms of knowledge and skills were found when participants were asked to analyze hypothetical responses to tasks related to the concept of linear variation. (Conclusions) The results of this investigation indicate that experiences such as these can be a valuable resource in educational programs for teachers to acquire knowledge and skills for the appropriate treatment of mathematical content.

Resumen (Objetivo) En este trabajo se presenta el diseño, la implementación y el análisis de una experiencia formativa dirigida a futuros profesores de matemáticas de educación secundaria, centrada en el estudio de la variación lineal; el objetivo es enriquecer su conocimiento didáctico-matemático e iniciarlos en el desarrollo de la competencia de análisis ontosemiótico. La variación lineal es un objeto de interés debido a que está presente en diferentes momentos educativos a través de múltiples enfoques y significados: aritmético, algebraico y funcional. Como objeto matemático, posee una complejidad que puede ser fuente de dificultades y concepciones erróneas, lo que motiva el desarrollo de acciones formativas. (Metodología) Se trata de una investigación cualitativa basada en el estudio preliminar, diseño, implementación y análisis de 5 actividades didácticas, según los principios teóricos del enfoque ontosemiótico. Los datos proceden de videograbaciones de clases, notas de campo y respuestas escritas de nueve futuros profesores de octavo semestre de Licenciatura en Educación Secundaria con especialidad en Matemáticas. (Resultados) Los resultados indican que la variación lineal es, en efecto, un objeto complejo, lo cual se traduce en carencias en el conocimiento didáctico-matemático que los futuros profesores tienen sobre ella. Igualmente, se identifican dificultades -en términos de conocimientos y competencias- cuando se les pide analizar respuestas hipotéticas de estudiantes sobre tareas sobre variación lineal. (Conclusiones) A partir de los resultados, experiencias como la presentada se postulan como un recurso valioso en programas formativos para que el profesorado adquiera conocimientos y competencias para el tratamiento adecuado del contenido matemático.

Resumo (Objetivo) Este artigo apresenta o desenho, a implementação e a análise de uma experiência de formação voltada para futuros professores de matemática no ensino médio, focada no estudo da variação linear, com o objetivo de enriquecer seus conhecimentos didático-matemáticos e iniciá-los no desenvolvimento da competência de análise ontosemiótica. A variação linear é objeto de interesse, pois está presente em diferentes momentos educacionais por meio de múltiplas abordagens e significados: aritmético, algébrico e funcional. Como objeto matemático, possui uma complexidade que pode ser fonte de dificuldades e equívocos, o que motiva o desenvolvimento de ações de capacitação. (Metodologia) Trata-se de uma pesquisa qualitativa baseada no estudo preliminar, desenho, execução e análise de 5 atividades didáticas, segundo os princípios teóricos da abordagem ontosemiótica. Os dados são provenientes de gravações em vídeo das aulas, notas de campo e respostas escritas de nove futuros professores do oitavo semestre do Bacharelado em Ensino Médio com especialidade em Matemática. (Resultados) Os resultados indicam que a variação linear é, de fato, um objeto complexo, o que se traduz em deficiências no conhecimento didáticomatemático que os futuros professores têm sobre ela. Da mesma forma, dificuldades são identificadas - em termos de conhecimento e competências - quando se pede analisar respostas hipotéticas dos alunos em tarefas sobre variação linear. (Conclusões) Com base nos resultados, experiências como a apresentada são postuladas como um recurso valioso em programas de formação para que os professores adquiram conhecimentos e competências para o tratamento adequado de conteúdos matemáticos.

Abstract The design and implementation of a training experience with future Peruvian mathematics teachers is described, aimed at developing the competence of analyzing the didactic suitability of curricular materials on probability. From a qualitative approach and with the support of the guidelines of didactic engineering based on the Ontosemiotic Approach, the protocols of written responses of 38 participants are available. The results show limitations in the assessment of suitability indicators and difficulties to elaborate a reasoned judgment on it. It is concluded that there is a need to promote reflective practice on the use of curricular materials and proposals for improvement changes in all facets of didactic suitability in a joint manner.

Résumé On décrit la conception et la mise en place d’une expérience d’entraînement avec de futurs enseignants de mathématiques péruviens, destinée à développer leur compétence d’évaluation de l’adéquation didactique des matériaux curriculaires portant sur la probabilité. A partir d’un approche qualitatif et avec l’appui des lignes directrices de l’ingénierie didactique basée sur l’Approche Ontosémiotique, on a examine les protocoles de réponses écrites de 38 participants disponibles. Les résultats dévoilent des limitations dans l’évaluation des indicateurs d’idonéité, et des difficultés à formuler un jugement fondé sur l’idonéité. On conclue qu’il faut encourager/une pratique réflexive compréhensive sur l’emploi des matériaux curriculaires, et des propositions de perfectionnement dans toutes les facettes de l’adéquation didactique.

Resumen Se describe el diseño e implementación de una experiencia formativa con futuros profesores de matemáticas peruanos, destinada a desarrollar la competencia de análisis de la idoneidad didáctica de materiales curriculares sobre probabilidad. Desde un enfoque cualitativo y con el apoyo de las pautas propias de la ingeniería didáctica basada en el Enfoque Ontosemiótico, se dispone de los protocolos de respuestas escritas de 38 participantes. Los resultados muestran limitaciones en la valoración de indicadores de idoneidad y dificultades para elaborar un juicio razonado sobre esta. Se concluye la necesidad de potenciar la práctica reflexiva en torno al uso de los materiales curriculares y las propuestas de cambios de mejora en todas las facetas de la idoneidad didáctica de manera conjunta.

Resumo Descrevemos a concepção e implementação de uma experiência de treinamento com futuros professores de matemática peruanos, destinada a desenvolver a competência de analisar a adequação didática dos materiais curriculares sobre probabilidade. A partir de uma abordagem qualitativa e com o apoio das diretrizes da engenharia didática baseada na Abordagem Ontosemiótica, foram gerados e analisados os protocolos de respostas escritas de 38 participantes. Os resultados mostram limitações na avaliação dos indicadores de idoneidade e dificuldades na elaboração de um julgamento fundamentado de idoneidade. Conclui-se que existe a necessidade de promover uma prática reflexiva no uso de materiais curriculares e propostas de melhoria em todas as facetas da adequação didática de forma conjunta.

Abstract This research rests on the analysis of a mathematical task, concerning an arithmetic-algebraic problem and its solution, using theoretical tools from two main frames: the Semiotic Bundle Approach (SBA) and the Onto-Semiotic Approach (OSA). The activity has been examined by two original video recordings of the group consisting of five pupils of primary education. By presenting an empirical case of networking of theories, the objective is to begin a dialogue with the two approaches, reading the asymmetries found between their languages, with the aim of getting some new insights into the mathematical problem. Whereas the SBA, in a systematic approach, is particularly apt to focus on the relationships among the different multimodal semiotic resources used by the students in the short timescales of the classroom story (an embodied cognitive focus), the OSA incorporates a set of conceptual tools to address the analysis of the different facets that interact in a mathematical education process. Mainly the SBA describes the importance of the bundle of signs (like gestures, words, written signs) for mathematical thinking and communication and its multimodality, whereas the OSA favours the description of objects and processes that emerge from the mathematical practices. The results from this joint analysis provide a rich insight into the observed phenomenon and help initiate a dialogue between theories in Mathematics Education, within a Semiosphere generated by the networking between SBA and OSA.

Resumo Esta pesquisa baseia-se na análise de uma tarefa matemática, sobre um problema aritmético-algébrico e sua solução, utilizando ferramentas teóricas de dois quadros de referência principais: a Abordagem Semiótica do Conjunto (SBA) e a Abordagem Onto-Semiótica (OSA). A atividade foi examinada por meio de duas gravações em vídeo originais do grupo composto por cinco alunos do ensino fundamental. Ao apresentar um caso empírico de rede de teorias, o objetivo é começar a dialogar com as duas abordagens, lendo as assimetrias presentes entre suas linguagens, com o objetivo de obter novos insights sobre o problema matemático. Enquanto o SBA, em uma abordagem sistemática, é particularmente apto a focar as relações entre os diferentes recursos semióticos multimodais usados pelos alunos nos curtos prazos da história em sala de aula (um foco cognitivo incorporado), o OSA incorpora um conjunto de ferramentas conceituais para abordam a análise das diferentes facetas que interagem em um processo de educação matemática. Principalmente a SBA descreve a importância do conjunto de signos (como gestos, palavras, signos escritos) para o pensamento matemático e a comunicação e sua multimodalidade, e a OSA favorece a descrição de objetos e processos que emergem das práticas matemáticas. Os resultados desta análise conjunta fornecem uma rica visão do fenômeno observado e ajudam a iniciar um diálogo entre as teorias em Educação Matemática, dentro de uma Semiosfera gerada pela articulação entre SBA e OSA.

Abstract Curricular materials constitute a bridge between the planned curriculum and the one implemented in the classroom, mediating student learning. Therefore, it is relevant to for educational research to study their degree of adequacy to the planned teaching processes. Assessing the suitability of these materials requires the development of instruments to guide reflection on the different dimensions that affect the study processes in mathematics. We present a systematic review of the criteria and indicators of didactic suitability to assess the instructional processes on probability within the framework of the ontosemiotic approach, with the purpose of elaborating a guide to assess Peruvian curricular materials of secondary education (students of twelve and thirteen years) in this content. This instrument is applied to analyse the worksheets dedicated to probability of two workbooks that have been developed by the same institution from which the curricular norms emanate. A qualitative methodology is followed, using the technique of content analysis supported by the categories of the Ontosemiotic Approach. The analysis of the worksheets has allowed us to identify some critical points that should be considered in order to optimize their use in the classroom: mismatch of contents with curricular guidelines; predominance of classical versus frequential meaning; absence of articulation of classical meaning with other meanings such as intuitive or subjective; lack of situations involving experimentation, simulation and use of manipulative materials or software; scarcity of contexts to develop probabilistic literacy beyond games of chance; and absence of group tasks that favour interaction between students.

Resumen Los materiales curriculares constituyen un puente entre el currículo previsto y el implementado en el aula, mediando en el aprendizaje de los estudiantes. Por tanto, desde la investigación educativa se debe estudiar su grado de adecuación a los procesos de enseñanza planificados. Valorar la pertinencia de estos materiales requiere desarrollar instrumentos que guíen la reflexión en las diferentes dimensiones de los procesos de estudio de las matemáticas. Presentamos una revisión sistemática de los indicadores de idoneidad didáctica para valorar los procesos instruccionales sobre probabilidad en el marco del Enfoque Ontosemiótico, con la finalidad de elaborar una guía para evaluar materiales curriculares peruanos de Educación Secundaria (estudiantes de doce y trece años) en dicho contenido. Dicho instrumento se aplica para analizar las fichas dedicadas a probabilidad de dos cuadernos de trabajo, elaborados por la misma institución de la que emana la normativa curricular. Se sigue una metodología cualitativa, empleando la técnica de análisis de contenido apoyada en las categorías del Enfoque Ontosemiótico. El análisis de las fichas de trabajo ha permitido identificar puntos críticos que deben considerarse para optimizar su uso en el aula: desajuste de contenidos con las directrices curriculares; predominio del significado clásico frente al frecuencial; ausencia de articulación del significado clásico con otros significados como el intuitivo o subjetivo; falta de situaciones que impliquen experimentación y simulación con manipulativos o software ; escasez de contextos para desarrollar la alfabetización probabilística más allá de los juegos de azar y ausencia de tareas grupales que favorezcan la interacción entre estudiantes.

Abstract: The objective of this work is to analyze the meanings of probability and how they are articulated in the Peru curricular guidelines at the beginning of secondary education (12- and 13-year-old students). The curricular program and didactic materials in probability are examined by applying the notions of epistemic and didactic configuration from the Ontosemiotic Approach to mathematical knowledge and instruction. The results show an emphasis on the classical meaning of probability to the detriment of the intuitive and frequency meanings. This predominance of the classical meaning implies that all the situations-problems proposed in the curricular material are solved with the application of Laplace’s rule and that all the elementary events are equally likely. In this context, we identify different potential semiotic conflicts related to concepts-definitions, procedures, languages, and arguments that must be considered by teachers when using the curricular material. In this way, professional development programs should be planned to make it possible to exploit the possibilities of the curricular materials and cover the aforementioned aspects.

Resumen: El objetivo de este trabajo es analizar los significados de la probabilidad y cómo se articulan en las directrices curriculares de Perú al comienzo de la educación secundaria (estudiantes de 12 y 13 años). Para esto, se examinan el programa curricular en probabilidad del ciclo VI de educación secundaria y los materiales didácticos asociados, empleando las nociones de configuración epistémica y didáctica del Enfoque Ontosemiótico del Conocimiento y la Instrucción Matemáticos. Los resultados muestran un énfasis en el significado clásico de la probabilidad en detrimento de los significados intuitivo y frecuencial, lo que conlleva que todas las situaciones-problemas propuestas en el material curricular se resuelvan con la aplicación de la regla de Laplace y que todos los sucesos elementales se consideren equiprobables. En dicho contexto, identificamos diferentes conflictos semióticos potenciales relacionados con los conceptos-definiciones, procedimientos, lenguajes y argumentos que deben ser tomados en cuenta por los profesores que recurren al material curricular. De esta manera, deberían planificarse programas de desarrollo profesional que permitan explotar las posibilidades de los materiales curriculares y cubrir los aspectos mencionados.

Abstract The textbook is a widely used resource in the practice of teaching and, consequently, is a subject of educational research considered from various theoretical perspectives. In this paper, we apply the theoretical tools from the onto-semiotic approach to mathematical knowledge and instruction to perform the didactical analysis of a lesson on proportionality for elementary school (sixth grade; 11-12 years old). The selected lesson allows us to reflect on the instructional process planned by the textbook authors as a means to achieve the students’ learning. The following questions guide the textbook analysis: 1) What is the degree of didactical suitability of the planned instructional process? 2) How should we manage the use of the textbook to increase the process suitability? The method of analysis implemented allows us to obtain the didactic-mathematical knowledge that may help the teacher in making decisions about the textbook possibilities and limitations, when assuming the sociocultural postulates for mathematical learning.

Resumen El libro de texto es un recurso ampliamente usado en la práctica de la enseñanza y, en consecuencia, es objeto de investigación educativa, aplicando diversas perspectivas teóricas. En este trabajo se ejemplifica el uso de las herramientas teóricas del Enfoque Ontosemiótico del conocimiento y la instrucción matemáticos para realizar el análisis didáctico de una lección sobre proporcionalidad de sexto curso de primaria (11-12 años de edad). Se considera que una lección refleja el proceso de instrucción planificado por el autor como medio para lograr el aprendizaje del contenido por parte de los estudiantes potenciales del mismo. En consecuencia, se plantean las siguientes cuestiones que guían el análisis: 1) ¿Cuál es el grado de idoneidad didáctica del proceso de instrucción planificado? 2) ¿Cómo gestionar el uso del texto para incrementar la idoneidad del proceso? El método de análisis implementado permite obtener conocimientos didáctico-matemáticos que pueden ayudar al profesor a tomar decisiones sobre las posibilidades y limitaciones de los libros de texto cuando se asumen los postulados socioculturales sobre el aprendizaje matemático.

Abstract In this article we describe analyse and evaluate the implementation of an educational design to develop the prospective mathematics teacher’s didactical analysis and reflection competence. Planning of the experience, its implementation, and evaluation are based on the application of theoretical tools of the onto-semiotic approach. In several studies supported within this theoretical framework, the notion of didactical suitability as a tool of reflection on a study process has been developed and applied. In this sense, the main objective of the learning processes described here is that prospective teachers know and be competent in the application of this tool. The research scenario is a Master course for Secondary education mathematics teachers in which 27 students participated. The information gathered is based on the analysis of: observer-researcher and teacher-researcher’s annotations on the debate in the classroom, audio recordings and the participants’ responses throughout the design cycle. The a priori analysis of the educational situation reveals a high epistemic and ecological suitability; nevertheless, time constraints have conditioned an adequate learning achievement. Finally, the analysis of class episodes, using the tools described in this article, is revealed as an ideal educational strategy, but it should be complemented with situations focused on the development of other didactical competencies.

Resumen En este artículo se describe, analiza y evalúa la implementación de un diseño formativo para iniciar el desarrollo de la competencia de análisis y reflexión didáctica de futuros profesores de matemáticas de educación secundaria. La planificación de la experiencia, su implementación y evaluación, están basados en la aplicación de herramientas teóricas del enfoque ontosemiótico. En diversas investigaciones apoyadas en este marco se ha desarrollado y aplicado la noción de idoneidad didáctica como una herramienta de reflexión sobre un proceso de estudio. En este sentido, el objetivo principal de la acción formativa que aquí se describe es que los futuros profesores conozcan y sean competentes en la aplicación de dicha herramienta. El escenario de investigación es un curso de máster de formación de profesores de matemáticas de secundaria, en el cual participaron veintisiete estudiantes. La recogida de información se basa en el análisis de: las anotaciones del observador-investigador y profesor-investigador sobre el debate en clase, las grabaciones en audio y las respuestas entregadas por los participantes durante todo el ciclo de diseño. El análisis a priori de la situación didáctica propuesta revela una alta idoneidad epistémica y ecológica; no obstante, las limitaciones del tiempo asignado han condicionado el logro de un nivel de aprendizaje adecuado. Finalmente, el análisis de episodios de clase, usando las herramientas descritas en este artículo, se revela como una estrategia formativa idónea de profesores de matemáticas, aunque debe ser complementada con situaciones focalizadas en el desarrollo de otras competencias didácticas.

Abstract This paper describes the design and implementation of a training process about proportional reasoning with students of a Master’s Degree in Secondary Education in Spain. The main objective of the experiment is to explore their initial knowledge and to evaluate how competent the participants on analysing relevant aspects of the epistemic facet of the didactic-mathematical knowledge, which are concretized in the recognition of algebrization levels through different solutions to proportionality problems, are. The participants in the experience have been 33 students, with diverse background education profiles, of the course Initiation to the Teaching Innovation and Investigation in Mathematics Education. Among the results, we highlight the students’ limitations and difficulties to identify propositions and procedures and their related arguments. Likewise, the assignment of algebrization levels has also been a complex and difficult task for the participants. Besides, some students have shown deficiencies in the common knowledge of proportionality, which serves as a basis for the didactic-mathematical knowledge of the content. It is concluded that an improvement of the results requires, among other actions, to increase the time allocated to the formative intervention, which will allow extending the number and variety of situations-problems posed, their solutions and discussions.

Resumen En este trabajo se describe el diseño e implementación de una acción formativa con estudiantes de un máster de profesorado de Educación Secundaria en España sobre el tema de proporcionalidad. El objetivo principal de la experiencia es explorar sus conocimientos iniciales y evaluar el grado de desarrollo de aspectos relevantes de la faceta epistémica del conocimiento didáctico-matemático de dicho contenido, en particular, el reconocimiento de niveles de algebrización involucrados en distintas soluciones a problemas de proporcionalidad. En la experiencia han participado 33 estudiantes con titulaciones de grado diversas y se ha realizado en el marco de la asignatura de Iniciación a la Innovación Docente e Investigación en Educación Matemática. Entre los resultados obtenidos destacamos las limitaciones en la competencia de análisis epistémico lograda, en particular, la identificación de proposiciones y procedimientos y sus correspondientes argumentaciones. En algunos casos, los estudiantes han mostrado carencias en el conocimiento común del contenido, el cual sirve de base para el conocimiento didáctico-matemático de este. Se concluye que la mejora de los resultados requiere, entre otras acciones, incrementar el tiempo asignado a la intervención formativa, lo cual permitirá incrementar el número y variedad de situaciones-problema planteadas, su solución y discusión.